Licenciatura em Matemática (Sede)
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Item O Teorema Egregium(2024-02-29) Gomes, Heloisa Cardoso Barbosa; Gomes, Renato Teixeira; http://lattes.cnpq.br/0570606157057337; http://lattes.cnpq.br/8017333927762482Durante o desenvolvimento da geometria diferencial, por volta do século XVII, um antigo problema ocupava a mente dos matemáticos da época que era determinar se o chamado 5º postulado de Euclides era de fato um postulado ou um teorema. Tal postulado, que teve uma versão equivalente publicada em 1795, por John Playfair (1748–1819), diz que: por um ponto fora de uma reta dada, pode-se traçar uma única reta paralela à reta dada". Houveram muitas tentativas de "provar"o quinto postulado, sendo que todas estas fracassaram. A resposta a esta questão foi dada anos mais tarde por Gauss, Lobachevski e Bolyai. Em sua obra Disquisitiones generales circa superficies curvas, Gauss mostra que a curvatura K(p) de uma superfície no ponto p, calculada inicialmente através do determinante da diferencial de dNp que depende das chamadas primeira e segunda formas fundamentais, depende na verdade apenas dos coeficientes da primeira forma fundamental e suas derivadas, e pode ser calculada através de uma fórmula que leva o seu nome, a chamada fórmula de Gauss. Como consequência desta fórmula, temos o chamado Teorema Egregium que afirma que a curvatura Gaussiana de uma superfície é um invariante intrínseco, isto é, não depende do ambiente a qual a superfície está e, consequentemente, é invariante por isometrias locais. Tal descoberta está intimamente relacionada com geometrias não euclidianas, visto que a geometria de uma superfície com curvatura não nula é não euclidiana. Uma consequência desse fato é que o 5º postulado é de fato um postulado e não um teorema. Neste trabalho, faremos um estudo dos conceitos necessários para a compreensão do teorema Egregium de Gauss e sua demonstração, além de algumas aplicações deste importante resultado.Item Um breve estudo sobre a curvatura média e o teorema de Aleksandrov(2022-06-08) Lira, Yasmin Alves Sobrinho; Gomes, Renato Teixeira; http://lattes.cnpq.br/0570606157057337; http://lattes.cnpq.br/4862014205090674Ao se procurar os autovalores da diferencial da aplicação normal de Gauss dN, surgem naturalmente em seu polinômio característico duas funções que são invariantes por mudança de base deste operador: o determinante da matriz da aplicação normal de Gauss, chamado de curvatura Gaussiana e o traço desta aplicação. Como esta aplicação linear é auto adjunta, existe uma base ortonormal em que a matriz desta é escrita em forma diagonal em termos das curvaturas principais, e seu determinante e seu traço são dados por det(dN) = (−k1)(−k2) e por tr(dN) = −(k1+k2) respectivamente. O negativo da metade do traço H = k1 + k2/2 é a chamada curvatura média, cuja terminologia foi introduzida pela matemática francesa Sophie Germain ao estudar um problema relacionado com vibrações de uma membrana. Nesta época, um problema proposto por Lagrange que posteriormente recebeu o nome de problema de Plateau, físico Belga que realizou vários experimentos e estudos aprofundados sobre películas de sabão por volta de 1850, era a grosso modo determinar uma superfície que possua a menor área entre aquelas que têm o bordo dado por uma curva de Jordan prescrita. Pode-se mostrar que tal superfície possui em seus pontos regulares, curvatura média nula. Tais superfícies são chamadas mínimas e tem esse nome devido a Lagrange. Neste trabalho iremos fazer um breve estudo sobre a curvatura média e superfícies mínimas, demonstrando alguns resultados e apresentando alguns exemplos de tais superfícies. Além disso, demonstraremos o teorema de Aleksandrov que sob certas hipóteses diz que a única superfície compacta com curvatura média constante em R3 é a esfera. Para isto, iremos demonstrar este resultado com um “maquinário” diferente do utilizado por Aleksandrov. Seguiremos a abordagem de R. Reilly em seu artigo “Mean Curvature, the Laplacian and Soap Bubbles” que faz uso de conhecimentos mais básicos do cálculo diferencial e integral e da teoria de superfícies para sua demonstração.Item Um breve estudo sobre a geometria diferencial de superfícies em R3(2021-07-23) Santos, Túlio José de Souza; Gomes, Renato Teixeira; http://lattes.cnpq.br/0570606157057337; http://lattes.cnpq.br/5181696493328012Este trabalho tem como propósito fazer um breve estudo sobre a geometria diferencial de superfícies em R3, com objetivo de demonstrar o teorema de Gauss-Bonnet em sua versão local e global. Este relevante resultado relaciona a geometria e a topologia de superfícies em R3 e tem consequências bastante interessantes. Através dele, é possível dar uma resposta para um antigo problema de determinar se o quinto postulado de Euclides é um axioma ou um teorema. Na verdade, o que se obtém é que não há prejuízo em se negar o quinto postulado, isto é, supor que possa existir mais de uma ou nenhuma reta paralela a uma reta r passando por um ponto p fora de r. O que se encontra são "admiráveis mundos novos" que possuem geometrias distintas da Euclidiana.Item Um breve estudo sobre o transporte paralelo, geodésicas e a aplicação exponencial(2023-09-15) Costa, Matheus Rabelo Viana da; Gomes, Renato Teixeira; http://lattes.cnpq.br/0570606157057337; http://lattes.cnpq.br/3078665075835586Geodésicas são curvas em uma superfície regular que possuem a propriedade de localmente minimizarem o comprimento, isto é, se dois pontos estão próximos, a curva que possui o menor comprimento ligando estes dois pontos é uma geodésica. Elas são a grosso modo as "retas" da superfície, pois possuem a norma do vetor velocidade constante, e são curvas de aceleração nula. Podemos chegar a estas curvas através da solução de um problema variacional, ou trilhando o "caminho da Geometria" no qual definimos geodésicas como uma curva cujo campo de vetores tangentes é paralelo. O estudo destas curvas em uma superfície nos leva ao conhecimento de várias propriedades geométricas importantes, além do desenvolvimento de novos maquinários, como sistemas de coordenadas especiais, por exemplo, que facilitam o estudo das superfícies e auxiliam no cálculo de estruturas geométricas importantes desta. Neste trabalho faremos um breve estudo sobre transporte paralelo, geodésicas, a aplicação exponencial e suas propriedades. Estudaremos a noção de derivada covariante, e como transportamos paralelamente vetores ao longo de curvas. Com essa ideia de paralelismo, definiremos geodésicas como uma curva que possui campo de vetores tangentes paralelo. Faremos um estudo sobre algumas propriedades destas curvas e da curvatura geodésica de curvas em superfícies. Por fim, estudaremos a aplicação exponencial, o sistema de coordenadas normais e o sistema de coordenadas polares geodésicas e utilizaremos este, para entre outras coisas mostrar que geodésicas possuem a propriedade de localmente minimizarem o comprimento.