Licenciatura em Matemática (Sede)
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Item Modelos matemáticos epidemiológicos do tipo SIS e SIR e o segundo método de Lyapunov(2023-05-05) Santos, Letícia Maria Menezes dos; Didier, Maria Ângela Caldas; Freitas, Lorena Brizza Soares; http://lattes.cnpq.br/2302580820419163; http://lattes.cnpq.br/9721552594807972; http://lattes.cnpq.br/9115322351374062Esse trabalho tem como objetivo um estudo de modelos matemáticos epidemiológicos do tipo SIS (Suscetível - Infectado - Suscetível) e SIR (Suscetível - Infectado - Removido com foco na estabilidade dos pontos de equilíbrio dos sistemas de equações diferencias que os descrevem. A análise de estabilidade será apresentada de duas maneiras, utilizando as características dos autovalores e/ou traço da matriz do sistema e usando o Segundo Método de Lyapunov. Também tratamos a estabilidade de variações desses modelos, considerando a população total não constante e a dinâmica vital(nascimentos e mortes) ou dividindo a população dos infectados em indivíduos expostos(infectados que ainda não transmitem a doença) e os indivíduos infecciosos(infectados que transmitem a doença). Definimos o Valor de Reprodutividade Basal e, para alguns modelos, apresentamos formas para a sua obtenção a partir das taxas envolvidas e condições iniciais do sistema. Um cálculo que determina o número máximo de infectados atingido foi realizado para o modelo SIR com população total constante e sem dinâmica vital. Por fim, para compreender como acontece, na prática, a utilização destes modelos, decidimos estudar a evolução da Pandemia do Covid-19 no estado de Pernambuco em 2020 e 2021 por meio do modelo SIR com tamanho de população constante e sem dinâmica vital. Para isso, calculamos o valor de reprodutividade basal e o número máximo de infectados para cada caso. Vale destacar que para obter um modelo que melhor aproximasse os dados reais foi utilizado um algoritmo evolucionário.Item Um estudo sobre equações diferenciais ordinárias em dinâmica populacional(2019-12-14) Franco, Mariana Pereira; Carvalho, Gilson Mamede de; http://lattes.cnpq.br/0044877127514130; http://lattes.cnpq.br/1514122794309246Neste trabalho daremos ênfase a uma modelagem matemática por meio de equações diferenciais para a dinâmica entre duas populações em uma relação de predação, a qual é conhecida na literatura por Modelo Predador-Presa de Volterra, sendo realizada previamente uma abordagem das ferramentas matemáticas necessárias para uma análise adequada do problema, a saber, um estudo dos métodos de solução para algumas equações diferenciais ordinárias, os resultados que os fundamentam e algumas aplicações; e noções de estabilidade de singularidades de sistemas autônomos.Item Técnicas de Modelagem Matemática e os Métodos de Runge-Kutta(2021-07-23) Silva, Angelo Antunes da Rocha; Didier, Maria Ângela Caldas; Gondim, João Antônio Miranda; http://lattes.cnpq.br/2674397127545655; http://lattes.cnpq.br/9721552594807972; http://lattes.cnpq.br/9069459979748516Este trabalho consiste no estudo da Modelagem Matemática com análise numérica dos modelos. Apresentamos as etapas de um processo de modelagem, definimos e classificamos um modelo matemático e discutimos as técnicas de modelagem por ajuste de curvas usando o Método dos Mínimos Quadrados e por equações diferenciais onde abordamos alguns modelos, dentre eles, os que descrevem uma dinâmica de crescimento populacional e os modelos epidemiológicos. Também, apresentamos os métodos de Série de Taylor e os métodos de Runge-Kutta para a construção de soluções numéricas de um problema de valor inicial. Como contribuição principal, simulamos as soluções analíticas e numéricas para quatro problemas de valor inicial e analisamos os erros das soluções numéricas para responder questões referentes a fórmula geral do método de Runge-Kutta de ordem 2. Calculamos dois tipos de erros: o Erro de Fórmula e o erro em um intervalo. Para o cálculo do erro em um intervalo, utilizamos a norma L2 e uma fórmula fechada de Newton-Cotes. A proposta aqui é fornecer um material sobre Modelagem Matemática que possa ser utilizado tanto por um estudante de Graduação em Matemática, como de outra área de conhecimento que desfrute do Cálculo Diferencial como ferramenta. Observamos que as simulações dos modelos foram realizadas na linguagem de programação Python e os códigos poderão ser acessados através do link disponibilizado na introdução desta dissertação.