Um breve estudo sobre a curvatura média e o teorema de Aleksandrov

Abstract

Ao se procurar os autovalores da diferencial da aplicação normal de Gauss dN, surgem naturalmente em seu polinômio característico duas funções que são invariantes por mudança de base deste operador: o determinante da matriz da aplicação normal de Gauss, chamado de curvatura Gaussiana e o traço desta aplicação. Como esta aplicação linear é auto adjunta, existe uma base ortonormal em que a matriz desta é escrita em forma diagonal em termos das curvaturas principais, e seu determinante e seu traço são dados por det(dN) = (−k1)(−k2) e por tr(dN) = −(k1+k2) respectivamente. O negativo da metade do traço H = k1 + k2/2 é a chamada curvatura média, cuja terminologia foi introduzida pela matemática francesa Sophie Germain ao estudar um problema relacionado com vibrações de uma membrana. Nesta época, um problema proposto por Lagrange que posteriormente recebeu o nome de problema de Plateau, físico Belga que realizou vários experimentos e estudos aprofundados sobre películas de sabão por volta de 1850, era a grosso modo determinar uma superfície que possua a menor área entre aquelas que têm o bordo dado por uma curva de Jordan prescrita. Pode-se mostrar que tal superfície possui em seus pontos regulares, curvatura média nula. Tais superfícies são chamadas mínimas e tem esse nome devido a Lagrange. Neste trabalho iremos fazer um breve estudo sobre a curvatura média e superfícies mínimas, demonstrando alguns resultados e apresentando alguns exemplos de tais superfícies. Além disso, demonstraremos o teorema de Aleksandrov que sob certas hipóteses diz que a única superfície compacta com curvatura média constante em R3 é a esfera. Para isto, iremos demonstrar este resultado com um “maquinário” diferente do utilizado por Aleksandrov. Seguiremos a abordagem de R. Reilly em seu artigo “Mean Curvature, the Laplacian and Soap Bubbles” que faz uso de conhecimentos mais básicos do cálculo diferencial e integral e da teoria de superfícies para sua demonstração.