O floco de neve de Koch e suas propriedades: funções contínuas sem derivada em ponto algum

Abstract

Neste trabalho, apresentaremos a existência de funções contínuas reais que não possuem derivada em ponto algum. Para isso, utilizaremos a função desenvolvida pelo matemático Helge von Koch como exemplo, demonstrando que essa função é contínua em todos os pontos, mas não diferenciável em ponto algum. Mostraremos como ocorre a construção dessa curva e discutiremos suas propriedades. Para evidenciar esses fatos, muitas construções dessas funções são baseadas em séries infinitas de funções. Portanto, introduziremos alguns conceitos e resultados fundamentais da Análise Matemática, especificamente, sequências e séries de funções que serão de grande ajuda na investigação das propriedades de continuidade e diferenciabilidade. Por fim, comentaremos um resultado interessante que revela que o conjunto dessas funções, constitui um conjunto denso e residual no espaço métrico completo, ou seja, essas funções existem em abundância. A demonstração dessa afirmação é fundamentada no Teorema de Baire que, de modo geral, afirma que qualquer união enumerável de conjuntos magros é tão pequena que seu complementar é denso.