Licenciatura em Matemática (Sede)
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Item O floco de neve de Koch e suas propriedades: funções contínuas sem derivada em ponto algum(2024-07-31T03:00:00Z) Santos, Vivian Maria dos; Clemente, Rodrigo Genuino; http://lattes.cnpq.br/4351609162717260; http://lattes.cnpq.br/0771390443429539Neste trabalho, apresentaremos a existência de funções contínuas reais que não possuem derivada em ponto algum. Para isso, utilizaremos a função desenvolvida pelo matemático Helge von Koch como exemplo, demonstrando que essa função é contínua em todos os pontos, mas não diferenciável em ponto algum. Mostraremos como ocorre a construção dessa curva e discutiremos suas propriedades. Para evidenciar esses fatos, muitas construções dessas funções são baseadas em séries infinitas de funções. Portanto, introduziremos alguns conceitos e resultados fundamentais da Análise Matemática, especificamente, sequências e séries de funções que serão de grande ajuda na investigação das propriedades de continuidade e diferenciabilidade. Por fim, comentaremos um resultado interessante que revela que o conjunto dessas funções, constitui um conjunto denso e residual no espaço métrico completo, ou seja, essas funções existem em abundância. A demonstração dessa afirmação é fundamentada no Teorema de Baire que, de modo geral, afirma que qualquer união enumerável de conjuntos magros é tão pequena que seu complementar é denso.Item Uma introdução aos espaços de Lebesgue: completude, separabilidade e reflexibilidade(2022-06-09T03:00:00Z) Wanderley, Lucas Rodrigues; Carvalho, Gilson Mamede de; http://lattes.cnpq.br/0044877127514130; http://lattes.cnpq.br/9012501383942232Por meio desse trabalho, objetivo estudar as propriedades de separabilidade, reflexividade, completude e dualidade dos espaços Lp (X, Σ, μ) com 1 ≤ p ≤ ∞. Para este estudo, no Capítulo1, trataremos sobre conceitos prévios, que servirão como base na demonstração de futuros resultados, destacando aqui o conceito de completude de um espaço métrico e algumas de suas características. Após isso, já no Capítulo 2, abordaremos o que vem a ser um espaço separável e também reflexivo, bem como serão apresentadas algumas de suas principais propriedades. Por último, e não menos importante, para a construção do presente trabalho, apresentaremos o estudo feito acerca dos espaços de Lebesgue, visando com isso, verificar ou não, as propriedades de completude, separabilidade e reflexividade.Item Pontos fixos em espaços métricos completos e o Teorema de Picard(2023-09-21T03:00:00Z) Lima, Ana Catarine Freitas de; Carvalho, Gilson Mamede de; http://lattes.cnpq.br/0044877127514130; http://lattes.cnpq.br/8761735112729494Este trabalho tem como objetivo aprofundar o estudo dos espaços métricos completos, concentrando-se especialmente na análise dos pontos fixos. Nossa intenção é demonstrar o Teorema do Ponto Fixo de Banach e, posteriormente, aplicar essa teoria às equações diferenciais ordinárias por meio do Teorema de Picard.Para atingir esse objetivo, iniciaremos abordando os conceitos fundamentais dos espaços métricos, com ênfase na compreensão dos elementos básicos, oferecendo exemplos e introduzindo conceitos topológicos, como também a noção de continuidade. Conduziremos o estudo até chegarmos à definição de espaços métricos completos, para então analisar a noção de ponto fixo. Finalmente, demonstraremos o Teorema principal, que estabelece a existência e unicidade de soluções para problemas de valor inicial em equações diferenciais ordinárias.Item Introdução à compressão fractal de imagens através de sistemas de funções iteradas(2023-05-12T03:00:00Z) Silva, Maria Fernanda Pires da; Silva, Tarciana Maria Santos da; http://lattes.cnpq.br/1650180237175460; http://lattes.cnpq.br/4722608617162314O objeto de estudo deste trabalho é o método de compressão fractal de imagens através de sistemas de funções iteradas. Esta técnica consiste em descrever, através de transformações afins, fractais que possuem uma característica especial: a autossimilaridade. Para compreender este método de compressão, fazemos uma breve explicação sobre a geometria fractal, iniciamos um estudo sobre as transformações lineares e definimos as transformações afins no plano. Em seguida, nos debruçamos sobre os conceitos de Espaços Métricos necessários para compreensão do Teorema do Ponto Fixo de Banach, que é a chave para a aplicação dos sistemas de funções iteradas na construção de fractais autossimilares. Apresentamos a distância de Hausdorff, pois esta é utilizada na compressão de imagens reais que possuem pouca ou nenhuma similaridade e, por fim, mostramos a aplicação na prática construindo dois fractais muito importantes: o Triângulo de Sierpinski e o Tapete de Sierpinski.Item A compacidade em alguns universos topológicos(2021-07-13T03:00:00Z) Lima, Alexandre César Bispo; Carvalho, Gilson Mamede de; http://lattes.cnpq.br/0044877127514130; http://lattes.cnpq.br/4592972030162451Este trabalho tem como objetivo estudar e estabelecer relações entre conjuntos compactos e topologia, dando ênfase à compacidade da bola fechada unitária em diferentes contextos. Para isto, inicialmente tratamos de espaços topológicos no Capítulo 1, desenvolvemos conceitos básicos e ferramentas que serão úteis até chegarmos ao tema central de compacidade. Em seguida, no Capítulo 2, focamos o estudo no ambiente mais particular dos espaços métricos, onde desenvolvemos conceitos e resultados com o objetivo de finalizar o capítulo com uma caracterização de compacidade da bola fechada unitária do espaço. Por fim, no Capítulo 3, estudamos as topologias fraca e fraca*, visando apresentar como resultado final o célebre Teorema de Banach-Alaoglu-Bourbaki, que nos diz que a bola fechada unitária no dual topológico de um espaço de Banach é fraca* compacta.Item Espaços métricos: continuidade, completude e compacidade(2021-02-19T03:00:00Z) Oliveira, Alessandra Arcanjo Lisboa de; Araújo, Yane Lísley Ramos; Carvalho, Gilson Mamede de; http://lattes.cnpq.br/0044877127514130; http://lattes.cnpq.br/6642941380570085; http://lattes.cnpq.br/2572639684291501Este trabalho tem como objetivo principal estudar os conceitos de continuidade, completude e compacidade na teoria dos espaços métricos. Tais espaços são conjuntos não vazios nos quais a noção de distância entre seus elementos está bem definida. O presente estudo é interessante na medida em que os resultados aqui apresentados generalizam alguns resultados da teoria da continuidade e compacidade dos espaços Euclidianos, Rn, com n [pertence] N. Além disso, tais resultados se mostram válidos em espaços mais abstratos como alguns espaços de sequências ou de funções, cuja noção de distância foge da intuição e acarreta em fatos intrigantes, como o fato de que bolas fechadas não necessariamente sejam compactas.